Возможно, эта часть более нового SDK, но не может Вы просто звонить:

Parse.FacebookUtils.logIn({
  "facebook": {
    "id": "user's Facebook id number as a string",
    "access_token": "an authorized Facebook access token for the user",
    "expiration_date": "token expiration date of the format: yyyy-MM-dd'T'HH:mm:ss.SSS'Z'"
   },
   {
      success : function(_user) {},
      error : function(_user, error) {}
   }
};

Это не документируется в руководство JavaScript, но это документируется в неуменьшенную версию визы кода, соперничайте:

@param {String, Object} permissions The permissions required for Facebook
log in.  This is a comma-separated string of permissions.
Alternatively, supply a Facebook authData object as described in our
REST API docs if you want to handle getting facebook auth tokens
yourself.

я сделал некоторые обновления Вашего исходного кода для поддержки lastest SDK, который я собираюсь опубликовать на GitHub.

Большое спасибо за то, что возглавили это усилие. Ваше исходное сообщение сохранило меня часы.