Как открыться, терминал с полномочием пользователя root от php основывал веб-приложение

Нет, это - неправильный подход. Я примерно сделал бы это как это:

• Храните данные с веб-сайта по серверу в базе данных, или как текстовый файл.
• Используйте сценарий (сервис или наблюдатель каталога в /etc/crontab) на сервере, где Вы заполняете файл в базе данных или создаете текстовый файл с данными из этого текстового файла
• имейте погрузку веб-страницы эти новые данные после управления данными для получения желаемых результатов.

Подход базы данных лучше, но немного больше работы. Хорошо разработанная база данных вынуждает Вас проверить данные и делает управление данными легким. Можно использовать "процедуру" в MySQL для управления данными. Дамп текстового файла легче, но проверяет и управляет, текстовый файл может быть хитрым.

Альтернатива подходу Rinzwind - это:

1. Запишите сценарий, который переносит привилегированную команду, например,

   #!/bin/sh
   set -eu
   input="$1"
   output="$2"
   exec /path/to/data-analysis-program [OPTIONS...] "$input" "$output"
   

   Сохраните его как, скажем, /other/path/to-data-analysis-wrapper.sh и сделайте это исполняемым файлом:

   chmod +x /other/path/to-data-analysis-wrapper.sh
   

   Тест, что сценарий обертки делает то, с чем Вы хотите:

   sudo /other/path/to-data-analysis-wrapper.sh <INPUT-FILE> <OUTPUT-FILE>
   

2. Передайте владение файла пользователю, который делает это незаписываемым пользователю, владеющему процессом веб-сервера, например. root:

   sudo chown root /other/path/to-data-analysis-wrapper.sh
   

3. Настроить sudoers позволить выполнение сценария пользователем, который владеет процессом веб-сервера с поднятыми полномочиями. Посмотрите, Как я выполняю определенные команды sudo без пароля? поскольку, как сделать это в целом и использовать следующее правило (или настроить его к Вашей симпатии):

   www-data ALL = (root) NOPASSWD: /other/path/to-data-analysis-wrapper.sh *
   

4. Можно теперь выполниться sudo /other/path/to-data-analysis-wrapper.sh <INPUT-FILE> <OUTPUT-FILE> из сценариев CGI, работающих от имени веб-сервера.

Еще лучший подход должен настроить Ваши процессы анализа данных способом, который не требует полномочий суперпользователя. Если это только о перемалывании чисел а не о привилегированной системе или аппаратном доступе затем там, должен является относительно простым путем. Откройте новый вопрос и опишите ситуацию, более всестороннюю, если Вы хотите идти по той дороге.