Для отображения всех процессов любого конкретного пользователя используйте следующее:
$ ps -fu "username"
Например:
$ ps -fu foobar
Чтобы сохранить его в файле:
$ ps -fu foobar > ~/ps_foobar
Вот один лайнер, который можно использовать через cron или любой другой механизм репликации:
[[ $(ps -u foobar | wc -l) -gt 1 ]] && echo "user foobar has process running" || echo "user foobar has no process running"
Чтобы проверить журналы при выключении (насколько это возможно, можно зарегистрировать) :
tail -f /var/log/syslog ## Run it prior to shutdown
Или просто прочитайте файл /var/log/syslog в любое время, он содержит полную информацию о времени, поэтому будет легко понять.