Поскольку сообщения об ошибках обычно отображаются на STDERR (дескриптор файла 2), вам необходимо перенаправить STDOUT и STDERR в tee:
./some_app -i "$INDEX" |& tee "$LOG"
. Когда вы выполняете ./some_app -i $INDEX | tee $LOG, вы перенаправляя STDOUT на tee.
|& приведет к перенаправлению STDOUT и STDERR.
Если вы не можете перенаправить только STDOUT (как вы были) :
./some_app -i "$INDEX" | tee "$LOG"
С другой стороны, если вы хотите перенаправить только STDERR:
./some_app -i "$INDEX" 2>&1 >/dev/null | tee "$LOG"