Ответ DaithiF должен быть правильным ответом.
Кроме того, у моего скрипта не было #!/bin/bash в первой строке. Несмотря на то, что сценарий можно выполнить с помощью командной строки, run-parts отклонил его, указав «Ошибка формата Exec».
Изменение имени файла с scriptname.sh до scriptname и добавление #!/bin/bash в первую строку позволило запустить мой скрипт по часам.