Как Ubuntu запоминает историю процессов?

Если вы не хотите устанавливать MTA (который мне сейчас не нужен), вы можете передать результаты задания cron в файл журнала.

sudo crontab -e

затем с вашим cron

0 3 * * * /cmd/to/run >> /var/log/somelogfile.log

, тогда вы можете просто закрыть журнал и посмотреть, что произошло

sudo tail -f -n 50 /var/log/somelogfile.log

Это то, что я делал на любом сервере, который я вижу это сообщение в syslog