Это должно быть возможно, но может не стоить того хлопот, и перезагрузка является наиболее возможным вариантом.
/var может также содержать базу данных, такую как mysql, различные файлы журналов и кеши. Возможно, вам удастся сделать lsof | grep /var/ и отправить остановку связанным службам, и большинство из них может даже выжить mv /var /varold && mkdir /var && mount -t auto /dev/whatever /var && cp -Rp /varold /var, потому что они будут просто придерживаться своих старых файлов pid, но это может сильно потерпеть крах.
Другим подходом было бы войти на сервер с учетной записью, отличной от root, и сделать killall -SIGSTOP -u root (или любой другой специальный пользователь, с которым они могут работать как), внести изменения и возобновить процессы с помощью killall -SIGCONT -u root.
Если это действительно критически важно без простоя и неограниченного количества усилий, я бы предпочел настроить клонированную виртуальную машину и возиться с ней, прежде чем попробовать это на реальном сервере.