Я предполагаю, что anacron работает logrotate во время загрузки.
Если да, попробуйте отредактировать файл конфигурации /etc/logrotate.d/apache2 и измените
create 640 root adm
в любом случае, например
create 666 root adm
Но, кроме службы apache2, что еще нужно записать в этот файл?
Если это на сервере, возможно, это плохая идея сделать файл доступным для записи. Например, если кто-то заходит в вашу систему, они могут удалить записи журнала, которые помогут вам найти проблему.
Если вы хотите доступ к чтению, возможно, вам лучше добавить себя в adm группа, например
gpasswd -a `whoami` adm
Это также поможет, если вам действительно нужен доступ на запись, например
create 660 root adm
.