Вы не можете использовать одну и ту же флеш-библиотеку для обоих браузеров.
Flash встроен непосредственно в Chrome, и все обновления для него автоматически. Если вы хотите использовать флеш-память в других браузерах, вам необходимо установить ее отдельно от Adobe для Firefox.
Ссылка