Использование sed:
sed 's/[^"]*"\([^"]\+\)"[^"]*/\1\n/g' file
[^"]*
^ в начале [^"]* ... означает, что символы, перечисленные в классе символов, не должны матч (только совпадение с одним "). [F8] означает " может происходить ноль или более раз.
"\([^"]\+\)"
Все внутри \(...\) является подходящей группой. Первый символ за пределами сопоставимой группы - это совпадение начала. Класс символов [^"] следующий (он соответствует каждому символу, кроме "). Квантификатор \+ означает, что в кавычках ("...") в вашем входном файле должен быть по крайней мере один символ. Затем \), конец соответствующей группы. Эта сопоставляющая группа может получить доступ по индексу через \1.
Последняя часть [^"]* совпадает с первой частью, которая соответствует всем, до следующего ".