Удалить все пакеты виртуальных боксов из системы, а затем установить пакет с Virtualbox.org, это все из-за отсутствия /usr/lib/virtualbox/VBoxNetNAT двоичного файла, доступ в Интернет в сетевом режиме NAT не работает. Это не параметр по умолчанию NAT.
Обычно он должен запускать этот файл, как:
/usr/lib/virtualbox/VBoxNetNAT --ip-address 10.0.2.1 --netmask 255.255.255.0 --network NatNetwork --trunk-type whatever
Но без этого файла гость получает только IP-адрес от DHCP-сервера, t подключиться к Интернету.
После удаления всех пакетов виртуальных пакетов и установки пакета (5.1.4-110228 ~ Ubuntu ~ trusty) из VirtualBox.org, /usr/lib/virtualbox/VBoxNetNAT очень хорошо подключается к Интернету.