Если только обычная вещь между старым компьютером и новым компьютером находится в $ HOME, тогда ключ должен находиться где-то в $ HOME. Итак, вопрос в том, какой файл находится в нем?
Вы можете узнать, получив список файлов, общий для обеих машин (find $HOME -type f должен сделать из вашего описания). Сначала создайте резервные копии этих файлов, а затем удалите их. Убедитесь, что ключ больше не известен. Затем замените половину файлов и снова проверьте, если это неизвестно, тогда ключ должен находиться в другой половине. Разделите вторую половину на две части и продолжайте движение таким образом, пока вы не войдете в файл, содержащий ваш ключ.
Может потребоваться некоторое время.