Как заставить Thunderbird автоматически проверять почту при входе в систему?

Вы имеете в виду, что хотите автоматически запускать ТБ при входе в систему?

1. Откройте панель Unity и запустите «Запуск приложений».
2. Нажмите «Добавить», справа.
3. Введите имя "Thunderbird".
4. Введите команду "Thunderbird".
5. Нажмите «Добавить», чтобы закрыть диалоговое окно.

К сожалению, я не знаю ни одного способа заставить его запускаться в фоновом режиме и просто обновить почтовый уведомитель - это было бы неплохо.

Посмотрите на мой ответ на этот вопрос:

Как сохранить работу Thunderbird и Pidgin на заднем плане?

Такая конфигурация доступна для каждой учетной записи, а не для всей системы.

В настройках каждой учетной записи (Edit -> Account Settings...) у вас есть «Настройки сервера», где вы можете настроить, как Thunderbird обрабатывает новые сообщения.