несколько возможных проблем:
1) Возможно, у вас нет #!/bin/sh в качестве первой строки в update.sh
2) PHP может потребоваться выполнить дополнительные команды, но cron задания выполняются без установленной переменной PATH. Чтобы исправить это, используйте echo $PATH на терминале, где работает команда, а затем используйте export PATH=..., заменив ... на вывод echo $PATH выше
3) PHP может потребоваться другие переменные среды для функция. Отслеживайте их и экспортируйте их в update.sh до вызова /usr/bin/php.
Редактировать
ОК, это не 1)
Откройте новый (или новое ssh-соединение) и выполните:
for i in `env | sed 's/=.*//'` ; do unset $i ; done
Это приведет к отключению всех переменных среды, включая PATH. Затем попробуйте:
/usr/bin/php /var/www/html/site/update.php
Затем опубликуйте здесь сообщения об ошибках.